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\title{作业 4}
\author{11 丛宇 202411081537}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\section*{第六章}
\begin{itemize}
\item[3.] 由欧拉公式 $\phi = m+2-n \leq 3n-6 +2-n=2n-4$.
\item[4.] 
\begin{enumerate}
\item 由于极大平面图所有face degree都是3, 有 $3\phi=2m$. 由欧拉公式 $n+2m/3-m=2$得到$m=3n-6$
\item $\phi=2m/3=2n-4$
\item 对 $n$ 归纳,  $n=4$时显然成立. 假设$G$为$k$个点的极大简单平面图. 若$\kappa(G)=1$, $G$ 中一定包含degree 是1 的点(简单图), 与极大简单平面图矛盾; 若$\kappa(G)=2$, 则存在两个点$u,v\in G$ s.t. $G-\{u,v\}$使 $G$ 不联通. 那么在$G$一定可以表示成两个图$G_1,G_2$ 的2-clique sum. 但是由于 $n>4$, 平面图$G_1$与$G_2$都包含$u,v$之外的点, 一定存在$x\in G_1,y\in G_2$ s.t. $G+(x,y)$ 仍然是平面图, 与极大简单平面图假设矛盾. 因此$\kappa(G)\geq 3$.
\end{enumerate}
\item[5.] 显然. 假设$G$并非极大可平面图, 则存在$e\notin E$ s.t. $G+e$ 仍然是平面图. 与$n$个点的平面图边数$\leq 3n-6$矛盾.
\item[6.]
\begin{enumerate}
\item 容易发现$n\leq 4$时不是简单图,$n=5$时不是平面图. 所以$n\geq 6$. 假设$G$ 中只有5个顶点的度数不超过5, 有 $2m\geq 5+16+6(n-5)$, 得到$m\geq 3n-4.5$ 与 $m=3n-6$ 矛盾
\item 若$G$中只有11个点度数为5, 有$2m\geq 11*5+6(n-11)$, 得到$m\geq 3n-11/2$ 与 $m=3n-6$ 矛盾
\end{enumerate}
\item[8.]
\begin{enumerate}
\item 如果$G$有度数为2的点$u$,由于$n\geq 4$ 一定存在一个点$v$与$u$不相邻, 显然$G+(u,v)$仍然是平面图
\item 假设只有两个度数$\leq 5$的点, $2m\geq 6(n-2)+2$, $m\geq 3n-4$ 矛盾
\item $2m\geq 6(n-3)+9$, $m\geq 3n-4.5$
\end{enumerate}
\item[25.] 1. matroid $M$ 中的cocircuit = dual matroid $M^*$ 中的circuit. planar graph 对应的 graphic matroid dual = planar dual graph 上的graphic matroid. (互为对偶,只需要证明一边. 假设$G$的cycle $C$在$G^*$中的对应$C^*$不是cut, 那么令$C$内部的某个face对应的顶点为$v^*$, 在$G^*$中存在$(v^*,u^*)\in E$ s.t. $u^*$对应的face 不在$C$中. 显然$C$不是cycle) 2. Euler 图的cut大小一定是偶数. 由1知对偶图中所有cycle长度都是偶数. 无奇环一定是二分图.
\end{itemize}


\section*{第七章}
\begin{itemize}
\item[2.] 由推论2, 简单图点数$2k+1$, 边数$m=\Delta n/2=\frac{2k+1}{2}\Delta>k\Delta$, 所以$\chi'=\Delta+1$.
\item[3.] 如果所有cycle长度都是偶数, $G$是二分图, $\chi'=\Delta$. 如果所有cycle长度都是奇数, 由于两个cycle的对称差还是cycle, 观察到任意两个奇环不能共用边,只能共用点. 将每个奇环看成一个点, 共用顶点的奇环之间连边, 得到的图一定是 forest, 否则包含简单偶环. 由于每个奇环只需要3种颜色即可染色且奇环之间形成树(要求$G$联通), 容易看出$\chi'\leq \Delta$.
\item[4.] 对$n$归纳, base case是$P_3$,显然成立. 假设对所有$k\leq n-1$阶满足条件的简单图都有$\chi'=k-1$. 现在考虑$k$阶满足条件的简单图$G$, 其中$\deg(v)=k-1$. $G-v$满足归纳假设, 有一个$k-2$边染色, 所以一定存在一个$k-1$边染色. 重复使用$k-1$次引理1容易推出$G$也可$k-1$边染色.
\item[5.] 如果$G$不含任何奇圈, 那么是二分图, $\chi=2$. 如果$G$只有一个奇圈, 显然$\chi=3$. 如果$G$ 有多个奇圈, 取其中一个,记为$C$, $C$可以3染色. 考虑$G\setminus C$, 由于任何两个奇圈都共用顶点, 所以$G\setminus C$没有奇圈, 是二分图, 可以2染色. 所以$\chi(G)\leq 2+3=5$.
\item[9.] 令$e=(u,v)$, 假设$G\setminus e$ 颜色最少的染色中 $u,v$颜色相同, 则该染色在$G/e$中也是可行的染色且$G/e$中任何可行的染色都得到$G\setminus e$ 中$u,v$颜色相同的一个染色.  假设$G\setminus e$ 颜色最少的染色中 $u,v$颜色不同, 同理任何一种染色对应着$G$的染色. 因此$\chi(G\setminus e)=\min(\chi(G),\chi(G/e))$.
\item[34.] $P_k(C_n)=P_k(P_n)-P_k(C_{n-1})=k(k-1)^{n-1}-P_k(C_{n-1})$ 展开得到$P(C_n,k)=(k-1)^n+(-1)^n(k-1)$.
\item[35.] $\sum_{i=0}^k[(i-1)^n+(-1)^n(i-1)](k-i)$
\end{itemize}
\section*{第九章}
\begin{itemize}
\item[2.] 将cycle定向为有向环不影响入度出度的差, 所以从$G$中删掉所有cycle. 下面考虑给树定向, 保证$|\deg_+(u)-\deg_-(u)|\leq 1$. 任意选择树根, 从树根开始用贪心算法定向即可.
\item[5.] 1强联通. 2单向联通. 3.弱联通 4.单向联通 5.强联通 6.强联通
\item[7.] 略
\item[11.] 对子树(点数)做归纳. base case是只包含一个点的二元树,显然成立. 对$T$中的所有非叶子节点$u$, 存在一个以$u$为根的二元树, 其左右子树都满足性质$m=2t-2$, 因此$m'=m_1+m_2+2=2t_1+2t_2-4+2=2t-2$.
\end{itemize}
\end{document}